מדוע בחירות יוצאות חמישים-חמישים גם כשלכל סוגיה יש רוב ברור

לבחירות בדמוקרטיות בשלות יש הרגל לנחות ליד חמישים-חמישים. אנשים מסבירים זאת בסיפורים על קיטוב, על התקשורת, על מפלגות שרודפות אחרי הבוחר החציוני. אני חושב שיש הסבר פשוט ומכני יותר, ואינו זקוק לפסיכולוגיה כלל. הוא נופל מתוך אריתמטיקה ברגע שמצרפים סוגיות למפלגות.

המודל

קחו אוכלוסייה ושש סוגיות. בכל סוגיה הציבור אינו מפולג כלל: שבעים אחוז מחזיקים בדעה אחת ושלושים אחוז באחרת. לכל שאלה ושאלה יש רוב ברור.

עכשיו הקימו שתי מפלגות. מפלגה א' לוקחת את עמדת הרוב בשלוש מהסוגיות ואת עמדת המיעוט בשלוש האחרות. מפלגה ב' עושה את ההפך. כל בוחר מתבונן בשש הסוגיות, סופר כמה פעמים א' מסכימה איתו וכמה פעמים ב', ומצביע למי שמסכימה יותר. תיקו נמנעים.

מה קורה?

הסקריפט

כתבתי זאת לפני שנים כסימולציה קטנה, מפני שלא בטחתי באינטואיציה לשום כיוון.

#!/usr/bin/env python3
import random

issues_a = 3          # issues on which party A holds the majority view
issues_b = 3          # issues on which party B holds the majority view
majority = 0.7        # share of the public on the majority side of each issue
population = 100_000_000

for_a = for_b = 0
for _ in range(population):
    side = 0
    for _ in range(issues_a):
        side += 1 if random.random() < majority else -1
    for _ in range(issues_b):
        side -= 1 if random.random() < majority else -1
    if side > 0:
        for_a += 1
    elif side < 0:
        for_b += 1

print(f"for_a {for_a}")
print(f"for_b {for_b}")

הרצה עם אוכלוסייה קטנה יותר, מאתיים אלף בוחרים, נותנת בקירוב שישים וחמישה אלף לא', שישים וחמישה אלף לב', ושבעים אלף בתיקו. חלקו את התיקו איך שתרצו; ההצבעה היא חמישים-חמישים עד כדי רעש. העלו את הרוב בכל סוגיה משבעים לתשעים אחוז והתוצאה אינה זזה; רק מספר התיקו גדל.

מדוע

התוצאה נכפית על ידי סימטריה. מפלגה א' זוכה בבוחר בכל אחת משלוש סוגיות הרוב שלה בהסתברות 0.7 ומפסידה את הבוחר הזה בכל אחת משלוש סוגיות הרוב של ב' באותה הסתברות. שני חצאי הספר הם תמונות ראי. כל התפלגות ציונים שמפלגה א' מייצרת, מפלגה ב' מייצרת את ההפוכה, וההצבעה הצפויה שקולה בדיוק.

הרוב בכל סוגיה אמיתי, והוא מתקזז לחלוטין ברגע שהסוגיות מצורפות לחבילה. דבר בציבור לא השתנה. שבעים אחוז מהאנשים עדיין רוצים כל דבר. אבל הם רוצים את ששת הדברים בצירופים שונים, ושיטה של שתי מפלגות מאלצת כל צירוף לעבור דרך בחירה בינארית אחת, שבה הצירופים מסתכמים לאפס.

אם החבילות אינן שוות הסימטריה נשברת. תנו לא' שלוש סוגיות רוב ולב' רק שתיים, ומפלגה א' מנצחת בערך חמישים ושמונה לארבעים ושתיים. אז תוצאת החמישים-חמישים אינה חוק טבע; זה מה שמקבלים כששתי מפלגות חילקו ביניהן את העמדות הפופולריות בערך שווה בשווה. ומפלגות יעשו בדיוק זאת, מפני שמפלגה המחזיקה בכל עמדות הרוב פשוט הייתה מנצחת, ויריבתה הייתה מתכווננת עד שלא תנצח.

מה זה מסביר

זה מסביר מדוע בחירות מרגישות כמו הטלות מטבע שמוכרעות בשבוע האחרון: כשהציפייה המבנית שקולה, התוצאה היא הרעש שהיה נוכח באותו יום, ולא יותר.

זה מסביר מדוע המפסיד בכל בחירות משוכנע שהמדינה השתגעה, כשהמדינה לא זזה כלל. חצי מהבוחרים הפסידו בשלוש סוגיות שהיו חשובות להם וניצחו בשלוש שהיו חשובות להם פחות.

וזה מסביר מדוע בחירות מחלצות כמעט שום מידע על מה הציבור רוצה. המידע היה שם, שבעים אחוז בכל שאלה, והצירוף לחבילה הרס אותו לפני שהגיע לקלפי.

המודל הוא צעצוע. סוגיות אמיתיות מתואמות, בוחרים אמיתיים משקללים אותן באופן לא שווה, מפלגות אמיתיות הן יותר משתי רשימות עמדות. אבל המנגנון שהוא מבודד נוכח בכל בחירות אמיתיות, וכדאי לראות אותו בצורתו הטהורה: שיטה ששואלת שאלה אחת על שישה דברים אינה יכולה לשמוע את התשובה לאף אחד מהם. שאלו את שש השאלות בנפרד ותקבלו שישה רובים. שאלו אותן כחבילה ותקבלו מטבע.