מדוע טענה של שקרנים ידועים דווקא מקטינה את הסתברותה: הסבר בייסיאני

האינטואיציה

רוב האנשים סבורים שאם מישהו טוען טענה כלשהי, הדבר אמור לפחות להעלות במעט את אמונתנו שהטענה נכונה - הרי למה שיאמר זאת אם זה לא נכון? אבל משפט בייס מראה לנו משהו נוגד־אינטואיציה: אם האדם שמשמיע את הטענה הוא שקרן ידוע, ההצהרה שלו עשויה דווקא להפוך את הטענה לפחות סבירה משהייתה לפני שפתח את פיו.

רענון קצר על משפט בייס

משפט בייס מלמד אותנו כיצד לעדכן את אמונותינו כאשר מגיעה אלינו ראיה חדשה:

P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)

כאשר:

• P(A|B) היא ההסתברות ש-A נכון, בהינתן שצפינו ב-B
• P(B|A) היא ההסתברות לצפות ב-B אילו A היה נכון
• P(A) היא ההסתברות הקודמת (הפריורית) שלנו ש-A נכון
• P(B) היא ההסתברות הכוללת לצפות ב-B

הצבת הבעיה

נניח שקיימת טענה C, ושקרן ידוע L מצהיר ש-C נכונה.

עלינו לקבוע:

• P(C) - האמונה הקודמת שלנו ש-C נכונה לפני שהשקרן דיבר. נניח 50% (אין לנו מושג).
• P(L אומר C | C נכונה) - ההסתברות שהשקרן יצהיר על C אילו C הייתה נכונה באמת.
• P(L אומר C | C שקרית) - ההסתברות שהשקרן יצהיר על C אילו C הייתה שקרית באמת.

וכאן התובנה המרכזית: שקרן ידוע הוא מי שסביר יותר שיאמר דברים שקריים מאשר דברים נכונים. לכן:

• P(L אומר C | C נכונה) = 0.2 (שקרן רק לעתים רחוקות אומר אמת)
• P(L אומר C | C שקרית) = 0.8 (שקרן בדרך כלל משקר)

עושים את החשבון

אנחנו רוצים את P(C נכונה | L אומר C).

תחילה נחשב את P(L אומר C):

P(L says C) = P(L says C | C is true) * P(C) + P(L says C | C is false) * P(not C)
            = 0.2 * 0.5 + 0.8 * 0.5
            = 0.1 + 0.4
            = 0.5

כעת נפעיל את משפט בייס:

P(C is true | L says C) = P(L says C | C is true) * P(C) / P(L says C)
                         = 0.2 * 0.5 / 0.5
                         = 0.2

התחלנו באמונה של 50% ש-C נכונה. לאחר שהשקרן הידוע הצהיר על C, האמונה שלנו צנחה ל-20%. התמיכה של השקרן היא למעשה ראיה נגד הטענה.

מדוע זה חשוב

לתוצאה הזו יש השלכות עמוקות בעולם האמיתי:

תעמולה ודיסאינפורמציה

כאשר מקור בעל היסטוריה מוכחת של שקרים משמיע טענה, על צופים רציונליים להתייחס לטענה בספקנות גדולה יותר מזו שהייתה להם קודם, לא קטנה יותר. הטענה מוכתמת בשל מקורה. אין זו כשל אד־הומינם - זהו חשבון הסתברותי נכון.

ההיפוך שימושי לא פחות

אם שקרן ידוע מכחיש משהו, ההכחשה הזו היא למעשה ראיה בעד אמיתות הדבר. אם משטר רודני מכחיש ביצוע זוועות, ולמשטר הזה יש היסטוריה עשירה של שקרים, ההכחשה אמורה להגביר את אמונתכם שהזוועות אכן התרחשו.

לערום שקרנים זה על זה לא עוזר

אם כמה שקרנים ידועים מצהירים באופן בלתי תלוי על אותה טענה, ההצהרה של כל שקרן נוסף מקטינה עוד יותר את ההסתברות. עשרה שקרנים האומרים את אותו הדבר אינם חיזוק - הם עשר ראיות המצביעות הרחק מן הטענה. זאת בהנחה שההצהרות שלהם בלתי תלויות; אם הם מתאמים ביניהם, מדובר למעשה בהצהרה אחת ממקור אחד.

כתבי קודש וטענות דתיות

ההיגיון הזה חל ישירות על כתבי קודש ועל טענות שמשמיעות דמויות דתיות. כתבי קודש כגון התנ"ך, הקוראן ואחרים מכילים טענות רבות שהוכחו כשקריות באופן מובהק: גיל כדור הארץ, המבול העולמי, סיפור הבריאה, השמש שעמדה במקומה, ועוד רבות. לטקסטים האלה יש, לפי כל אמת מידה אמפירית, היסטוריה גרועה במיוחד של טענות נכונות על העולם הפיזי.

עכשיו שקלו מה קורה כשאותם טקסטים עצמם משמיעים טענות בלתי ניתנות להפרכה - קיומו של אלוהים, חיים לאחר המוות, נשמה, תכלית אלוהית, או נסים שבמקרה לא הותירו כל עקבות. משקיף תמים עשוי לומר "ובכן, אי אפשר להפריך את הטענות האלה". אבל משפט בייס אומר לנו משהו חזק יותר: עצם העובדה שמקור בעל היסטוריה כה גרועה הוא זה שמשמיע את הטענות הללו היא ראיה נגדן. אם התנ"ך טועה שוב ושוב בגאולוגיה, בביולוגיה, בקוסמולוגיה ובהיסטוריה, ראויות הצהרותיו על מטאפיזיקה לפחות אמון, ולא לפטור מלא רק משום שאינן ניתנות להפרכה.

הדבר נכון גם לגבי סמכויות דתיות. כומר, רב או אימאם שמשמיע טענות שניתן לאמת כשקריות - על היסטוריה, על מדע, ואפילו על תוכן כתביו שלו - מבסס את מעמדו כמקור בלתי אמין. כאשר אותו אדם עצמו מצהיר לאחר מכן על קיומו של אלוהים או על אמיתות התיאולוגיה שלו, משפט בייס מלמד אותנו שהצהרתו אמורה להוריד את ההסתברות הפוסטריורית שלנו, לא להעלות אותה. וככל שמצטברים עוד מקורות בלתי אמינים סביב אותה טענה, המצב מחמיר - בדיוק כפי שראינו בסעיף על ערימת השקרנים.

זו אינה הוכחה לכך שאלוהים אינו קיים. זו הבחנה מתמטית שהמקורות המרכזיים המשמיעים את הטענה פסלו את עצמם מלשמש ראיה בעדה. אם עדי המפתח שלכם הם שקרנים ידועים, הזמנתם לדוכן פוגעת בתיק שלכם.

אמון הוא עניין תורת־אינפורמטיבי

הניתוח הזה מראה שאמון אינו רק נימוס חברתי - יש לו השלכות מתמטיות מדויקות. מהימנותו של מקור קובעת ישירות אם אמירותיו מתפקדות כראיה בעד טענותיו או נגדן. הצהרותיו של מקור מהימן לחלוטין ידחפו את אמונתכם לכיוון 100%. הצהרותיו של מקור בלתי מהימן לחלוטין דוחפות את אמונתכם לכיוון 0%. ומה לגבי מקור שצודק בדיוק במחצית מהמקרים? אמירותיו נושאות אפס אינפורמציה - אפשר להתעלם מהן כליל.

המסקנה

משפט בייס מנסח באופן פורמלי את מה שרבים חשים באופן אינטואיטיבי אך מתקשים לבטא: אמינות המקור חשובה בדיוק כמו תוכן הטענה. שקרנים ידועים המצהירים שדבר מה נכון הם, מבחינה מתמטית, ראיה לכך שהוא שקרי. בפעם הבאה שאדם עם היסטוריה של חוסר יושר משמיע טענה נועזת, זכרו: עצם השמעת הטענה על ידו הפכה אותה לפחות סבירה.